La teoria delle reti idrauliche

Una rete idraulica è un insieme di rami mutuamente collegati che trasportano un fluido fra uno o più punti in cui il fluido è reso disponibile (alimentazione) ad uno o più punti in cui il fluido viene utilizzato(utenze). Una rete di questo tipo è una rete di adduzione , mentre in una rete di scarico il fluido disponibile alle utenze confluisce da queste  al punto di raccolta. In una rete aperta il fluido circolante disponibile alle alimentazioni fuoriesce in corrispondenza delle utenze e lo scopo della rete è un trasporto di massa. In una rete chiusa al fluido è associato un trasporto di energia , abbinata alla massa. Pertanto il fluido ricircola fra l’alimentazione, dove riceve l'energia termica, e le utenze , dove questa viene ceduta alle utenze, a parte le perdite termiche durante il percorso. La differenza sostanziale fra circuiti aperti e chiusi è che nei secondi l'energia necessaria alla movimentazione del fluido è solo quella dovuta alle perdite di carico per attrito durante il percorso, mentre nei primi l'energia idraulica è anche quella necessaria al sollevamento del fluido. Nei circuiti aperti la movimentazione del fluido è possibile grazie ad un dislivello favorevole o alla presenza della pompa.

Nel caso di fluidi comprimibili come i gas, portata volumetrica e quindi massa volumica e viscosità cinematica, variano con la pressione:  variazioni di pressione e perdite di carico sono mutuamente collegati. E' il caso delle reti gas in media ed alta pressione per il gas naturale.

Il calcolo delle reti idrauliche consiste nella determinazione delle portate che fluiscono nei rami delle rete, assegnate le condizioni geometriche e fluidodinamiche. Note che siano le portate ,tante quanti i rami, è possibile anche determinare le perdite di carico le pressioni e le altre grandezze fluidodinamiche. A questo scopo è opportuno introdurre una opportuna terminologia .

Il ramo. Il ramo è un tratto di tubazione (figura 1) , a diametro costante, non necessariamente rettilineo e non necessariamente formato da un singolo tratto , ma che potrebbe comprendere più tratti consecutivi. Ai fini del calcolo idraulico la schematizzazione del ramo avviene come segmento rettilineo avente  un nodo iniziale ed un nodo finale. Il calcolo idraulico stabilirà , nel caso di rete magliata o ad anello il verso effettivo del flusso. In una rete, per definizione, ogni ramo è collegato ad uno o più rami.

Figura 1:il ramo

Lo sviluppo geometrico di una rete. Una rete ad albero(figura 2)  è rappresentata come in figura. Una rete ad albero  avente  una sola alimentazione è caratterizzata da un verso univoco dei rami che non può variare con il calcolo. In questa tipologia fra il numero di nodi=NN ed il numero dei rami=NR c'è la relazione=NN=NR+1. In una rete ad albero con più alimentazioni sussiste la stessa relazione ma il verso dei rami assunto inizialmente può variare.

Figura 2:  rete ad albero

Percorso idraulico. E' l'insieme dei rami che collegano la alimentazione alla utenza , collegati in sequenza, da un punto iniziale , l'alimentazione, al punto finale, l'utenza (figura 3).

Figura 3:Percorso idraulico: nella figura i rami 1,2,5 costituiscono un percorso idraulico

Figura 4: rete ad anello

 

Anello. Una rete(figura 4)  in cui vi sia un sottoinsieme di rami che formano una circuitazione chiusa, ossia il ramo finale è collegato al ramo iniziale, è una rete ad anello. Non necessariamente dentro la regione spaziale nell'anello non possono essere presenti altri rami della rete. Il calcolo , nel caso di anelli singoli, suppone che vi sia un unico ramo di collegamento tra l'anello ed il resto della rete. Se gli anelli sono mutuamente collegati questi vengono denominati maglie.  Le maglie mutuamente collegate fra loro costituiscono una sottorete facenti parte della rete globale(figura 5).

Figura 5:rete magliata

 

Ramo derivazione. La derivazione è il ramo da cui il flusso d'acqua fuoriesce.

Ramo di alimentazione. E' il ramo o i rami in cui il fluido affluisce alla rete. I rami di alimentazione e di derivazione hanno verso fissi, i primi di ingresso, i secondi di uscita,  e definiti dall'utente in sede dei disegno della rete.

Figura 6: derivazione aperta

 

Le derivazioni. Le  derivazioni sono costituiti(eventualmente)  da più rami consecutivi verso l’uscita(figura 6) . Si suppone che il fluido, per effetto della pressione disponibile nei nodi di collegamento fra i rami, fuoriesca in corrispondenza di ciascuno nodo. Una derivazione è aperta se costituita da rami consecutivi , di cui l'ultimo non è collegato ad altri rami, a parte il precedente. Una derivazione con tre rami ha pertanto tre utenze, caratterizzate dai nodi di collegamento fra il primo ed il secondo, fra il secondo e il terzo, e dal nodo finale.

Una derivazione chiusa è formata da un insieme di rami consecutivi di cui sia il primo che l'ultimo sono collegati a punti diversi della rete. Mentre in una derivazione aperta il senso del flusso è univoco in ciascun ramo, in quella chiusa il senso non è univoco e dipende dalle condizioni idrauliche. (figura 6)

In una derivazione aperta la portata defluente dai nodi di collegamento fra i rami della derivazione è legata alla pressione disponibile al nodo secondo la relazione dell'elemento idraulico   valle del nodo e generalmente. Q=k p. Detta Q1 la portata del ramo a monte QX la portata uscente dal nodo e Q2 quella del ramo a valle, sussiste la relazione:

Q1-QX=Q2

In una derivazione chiusa portata del ramo di monte e portata del ramo di valle possono affluire o defluire dal nodo e la relazione di cui sopra si modifica in:

Q1+Q2=QX   dove le portate sono positive se affluenti al nodo e negative in caso opposto(figura 7).

 Figura 7:portate affluenti al nodo

 

 

 

Figura 8:derivazioni aperte e chiuse

Figura 9: rami con colori diversi

La colorazione dei rami corrisponde a:

Le utenze possono essere localizzate nel nodo finale di un ramo di una derivazione aperta (esempio nodi 24,25,26) o nel nodo di collegamento dei rami della derivazione chiusa(nell’esempio nodi 9,10,11).Oppure nei nodi , non appartenenti a derivazioni) della rete (nodi 70 e 69 della figura 10).

 

Figura 10: utenze collocate nei nodi

 

Utenza attiva/disattiva. Ogni utenza, individuata geometricamente nella rete, può essere ,in una scelta modalità di calcolo attiva  o disattiva, se intercettata. Il calcolo della rete non comprenderà i percorsi facenti capo alle utenze non attive. In conseguenza di diverse assunzione sulle utenze attive o non attive, nelle reti che hanno sottoinsiemi ad anello o a maglie il verso dei rami si modifica in conseguenza del calcolo. Invariata è invece il verso dei rami delle reti ad albero.

La colorazione delle utenze è:

 

Nella rete di figura 9 sono visibili gli elementi fondamentali di una rete aperta . Le derivazioni sono collegate a rami denominati montanti e quindi al ramo di alimentazione. Nella rete ad anello le derivazioni sono collegate a montanti di secondo livello(denominati montanti2) e quindi all'anello, oppure direttamente all'anello.

Il calcolo delle portate di una rete idraulica con il metodo di CROSS

Il calcolo della rete consiste nel calcolo delle portate dei rami a fronte delle condizioni imposte. L'impostazione iniziale del calcolo assegna alle utenze delle portate, stabilite in base alle considerazioni impiantistiche, che vengono chiamate nominali. Le portate nominali delle utenze vengono ripartite fra i rami della rete , costituendo le portate nominali di ogni singolo ramo, con la scontata condizione che la portata affluente sia uguale a quella uscente.

In alcuni tipi di calcolo questa condizione di congruenza non interviene per un diverso sviluppo del calcolo che non consiste nel determinare le portate dei rami ma i loro diametri. E' il caso delle reti gas in bassa pressione o delle rete idrosanitare o delle reti di scarico degli edifici civili.

A prescindere da questi casi particolari nel caso di calcolo delle portate è fondamentale individuare i percorsi idraulici. Nel caso di reti ad albero ogni utenza ha un singolo percorso idraulico che collega l'utenza al nodo di alimentazione. Nel caso di reti ad anello o magliate la determinazione dei percorsi idraulici diventa complessa , Partiremo da una semplice rete ad anello come in figura 11.

In questo caso il collegamento fra le utenze e l'alimentazione avviene con due differenti percorsi. Quella che può essere considerata una portata nominale consiste nell'assegnare a tutti i rami del percorso la portata nominale dell'utenza divisa per il numero dei percorsi. In conseguenza di questa operazione alcuni rami possono avere versi opposti a quelli iniziali. In ogni caso è rispettata inizialmente la congruenza delle portate confluente ai nodi. Se la rete è magliata, una volta individuati i percorsi idraulici facenti capo alle utenze, vengono determinate le portate iniziali. Il calcolo della rete consiste quindi nel calcolo di quelle che sono le portate reali a partire da quelle nominali. Le portate reali saranno quelle che rispettano le equazioni di congruenza ai nodi e le condizioni energetiche, ossia il teorema di Bernoulli applicato al percorso. In qualunque percorso idraulico l'energia idraulica iniziale, disponibile al nodo di alimentazione, sottratta delle perdite dei rami del percorso, deve essere uguale a quella del nodo caratterizzante l'utenza. In assenza di una pressione iniziale , dovuta ad esempio all'acquedotto, sarà la pompa a fornire l'energia idraulica necessaria a sopperire sia alle perdite che alla energia finale disponibile.

Il calcolo delle portate consiste nell'applicazione del metodo di Cross , opportunamente adattato, applicato al percorso idraulico e tenendo conto delle quote geometriche e piezometriche disponibili o necessarie al nodo iniziale e finale del percorso  e della eventuale prevalenza della pompa inserita nel percorso. Il percorso aperto è quello che collega un ramo di ingresso ad un nodo di uscita. Nel percorso aperto intervengono le quote geometriche e piezometriche iniziali e finali. Un percorso chiuso comprende i rami dell'anello o maglia e non intervengono quote geometriche o piezometriche, essendo il nodo finale coincidente con il nodo inziale. A fronte della incertezza , in mancanza di un algoritmo relativo, per la determinazione dei percorsi aperti in una rete magliata, i percorsi chiusi di una rete magliata sono subito individuabili.

In una rete ad albero i percorsi idraulici sono tanti quante le utenze mentre in una rete magliata sono superiori.

Esempio

L’esempio fa riferimento alla  figura 11, al servizio di idranti che comprende un ramo di alimentazione , una pompa, e 4 idranti . La rete è ad anello con 10 rami. Nella tabella 1 sono riportate diametri e lunghezze dei rami e  le quote geometriche degli idranti.

 

Figura 11:La rete idraulica di esempio, con la denominazione delle portate dei rispettivi rami

 

ramo

diametro

lunghezza

 

 

 

mm

                        m

 

quote nodi

1

68,9

9

 

nodo

          H

2

21,7

7

 

 

           m

3

21,7

8

 

7

8

4

21,7

8

 

8

7

5

21,7

9

 

9

8

6

21,7

9

 

10

7

7

21,7

9

 

 

 

8

21,7

8

 

 

 

9

21,7

8

 

 

 

10

21,7

8

 

 

 

 

Tabella 1:i dati della rete

 

 

La pompa ha equazione:

 

H=17.630000+0.122600Q-0.010785Q2+0.000197Q3-0.000001Q4

 

Dove H[m H2O] Q[mc/h]

 

  

 

 

Figura 12:la curva della pompa

 

Nella rete , a scopo dimostrativo, vengono assunti inizialmente i versi delle portate indicati nella figura 13, anche se, secondo logica, i rami 5 e 6 dovrebbero avere verso opposto. Questo  per dimostrare che il calcolo determinerà poi i versi effettivi.

 

 

 

Figura 13: la numerazione dei rami con i versi iniziali delle portate

 

 

La soluzione della rete, note che siano le caratteristiche geometriche, le quote dei nodi, la caratteristica della pompa consiste nel determinare le portate dei rami. Si introduce il concetto di percorso idraulico, l’insieme dei rami che porta dal nodo di alimentazione ai nodi terminali. Ad esempio il percorso 1 è formato dai rami 1 2,3 ,4,5, 7. Essendo la rete ad anello si individuano due percorsi per ogni terminale, il primo che percorre l’anello in un verso, il secondo in verso opposto. Il percorso 2, che porta allo stesso nodo terminale è formato invece  dai rami 1,6,7.Abbiamo quindi 8 percorsi , due per ogni terminale. A questi percorsi , aperti, si aggiunge quello della maglia chiusa formata dai rami 2,3,4,5,6, per un totale di 9. Nel proseguo , ove non altrimenti specificato, le portate sono in L/m e le perdite o prevalenze in mm H2O. Per ognuno di questi percorsi va rispettato il teorema di Bernoulli che diventa ora:

·       per i percorsi aperti:

 

[1] -Qg1-Hpompa+∑HW+Hidrante+Qg2=0

 

·       Mentre per quello chiuso:

[2]     ∑HW=0

 

Dove :

·       Qg1 la quota geometrica del punto iniziale del percorso

·       Qg2=la quota finale del percorso

·       Hpompa=la prevalenza della pompa

·       ∑HW= la somma delle perdite di carico dei rami che fanno parte del percorso.

·      Hidrante=la caduta di pressione nell’idrante

N.B nei circuiti aperti l’energia cinetica associata alla velocità del ramo di uscita può essere inglobata in una perdita concentrata con k=1

 

La perdita di carico Δp [mm H2o] nei circuiti idraulici asserviti agli impianti antincendio si calcola con l’equazione (per acciaio):

 

 

 

 

 

 

Δp=861529 X L x Q1,85/D4,87

la perdita degli idranti Hidrante  è:

Hidrante=9810*(Q/K)2

 

K il coefficiente caratteristico dell’idrante(in questo caso K=80). Oltre le equazioni [1] e [2] nella rete idraulica devono essere valide le equazioni di congruenza delle portate ai nodi, ad esempio per il nodo 2 deve essere:

q1-q7+q6=0

I segni corrispondono alle assunzioni dei versi della figura 13 ( positive le portate entranti al nodo , negative quelle uscenti). Con il concetto del percorso idraulico si supera la scrittura delle equazioni di congruenza dei nodi, come si vedrà nel seguito.  

Determinazione delle portate nominali

La prima fase del calcolo consiste nell’ assegnare le portate nominali delle utenze , in questo caso 120 L/m  a tutti i percorsi che fanno capo alle utenze stesse. Pertanto la portata  dell’utenza del nodo 7 va assegnata equamente ai percorsi 1 e 2 , e quindi ad ognuno 60 l/m. Il procedimento è il seguente.

La portata di 60 l/m viene assegnata al ramo con segno positivo se è concorde con quello del ramo iniziale 7, con segno negativo nel caso contrario. Pertanto  la portata di 60 è positiva nel percorso 1 per tutti i rami . Nel percorso 2 , avendo il ramo 6 verso opposto al ramo 7, la sua portata è  negativa. Automaticamente , con questa ripartizione, vengono rispettate le equazioni di congruenza ai nodi. Nella tabella 1 sono riportati i dettagli delle operazioni. La portata dei rami 5 e   6 risultano negative , ossia hanno verso opposto a quello inizialmente assunto. Pertanto l’equazione di congruenza diventa(le portate hanno  segno positivo se entranti , negativo se uscenti):

nodo 2:

480(ramo 1, entrante con portata positiva)-240(ramo 2, uscente con portata positiva)-240 ( ramo 6 entrante ma con portata negativa) =0

Operando analogamente per tutti i nodi si verificherà che con questa assegnazione delle portate iniziale vengono rispettate anche le equazioni di congruenza delle portate ai nodi.

 

Analogamente nel nodo 6:

 

+240(ramo 6, uscente ma con portata negativa) -120(ramo 7 uscente con portata positiva) -120(ramo 5 entrante ma con portata negativa)=0

 

Tabella 2:Assegnazione delle portate nominali

 

rami

 

 

 

 

 

 

 

 

 

percorso

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

60

60

60

60

60

 

60

 

 

 

2

60

 

 

 

 

-60

60

 

 

 

3

60

60

60

60

 

 

 

60

 

 

4

60

 

 

 

-60

-60

 

60

 

 

5

60

60

60

 

 

 

 

 

60

 

6

60

 

 

-60

-60

-60

 

 

60

 

7

60

60

 

 

 

 

 

 

 

60

8

60

 

-60

-60

-60

-60

 

 

 

60

 

480

240

120

0

-120

-240

120

120

120

120

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Figura 14: le portate nominali con i versi effettivi

 

Si sottolinea che il concetto di percorso idraulico si presta bene a considerare il caso che alcun idranti siano considerati inattivi o meglio vengano presi in considerazione solo gli idranti più sfavoriti o meno favoriti. Nel caso considerato, il calcolo determina, con tutti gli idranti attivi, quelli facenti capo ai nodi 8 e 9 quelli più sfavoriti. Pertanto basta considerare , nella tabella 2, nullo il loro contributo di portata. Successivamente vengono esclusi dal calcolo i percorsi facenti capo a questi idranti.

 

Calcolo iterativo con l’equazione [1]

Per procedere alla prima iterazione per il percorso 1 si compila la tabella 2.Il ramo 6 ha una portata iniziale negativa e quindi sarà negativa la sua perdita. La formulazione originaria del metodo di CROSS è fatta per le maglie chiuse, per cui deve valere l’equazione [2]. Il metodo suppone che la perdita di carico sia esprimibile con l’equazione Δp= K Q2 per cui l’equazione [2] diventa:

Ki Qi2 =0.

Se le portate non soddisfano questa uguaglianza si aggiunge un incremento di portata Δ tale che :

(Ki Qi+ Δ) 2 =0

Sviluppando e trascurando il termine Δ2  si ottiene:

Ki Qi2+ 2Ki Δ=0

per cui il termine correttivo Δ vale:

 

[3] Δ =-0,5 Ki Qi2/|∑ (Ki Qi|

 

Si modifica il metodo di Cross originario. Al numeratore si aggiungono le perdite di carico , le quote geometriche(con segno positivo la quota geometrica finale e negativa quella iniziale)  e la prevalenza della pompa ,con segno negativo .   I valori dei termini Ki Qi  relativi ai rami vengono determinati  in base alla uguaglianza:

Ki Qi Qi= HW per cui  : Ki Qi=HW/ Qi , che vengono rinominati come HQi

. Il termine 0,5 viene modificato con 0,15. Pertanto il numeratore NUM diventa:

 

NUM =[ HWi-QG1+QG2+Hidrante-Hpompa]

 

Mentre il denominatore diventa:

 

DEN=  |HQi |+|Hidrante/Qidr|+|Hpompa/Qpompa|

 

il valore di Δ dell’equazione [3] diventa in questo caso:

 

[4] Δ =-0,15 NUM/DEN

 

 

Tabella 3:calcolo del percorso 1 prima iterazione

 

 

ramo

    Q

   D

    L

 

 

HW

HQ

Qnuova

 

 

 

+

1

480

68,9

9

 

 

790

1,65

466

 

 

 

+

2

240

21,7

7

 

 

47336

197,24

226

 

 

 

+

3

120

21,7

8

 

 

15006

125,06

106

 

 

 

+

4

0

21,7

8

 

 

0

 

-14

 

 

 

+

5

-120

21,7

9

 

 

-16883

140,69

-134

 

 

 

+

7

120

21,7

9

 

 

16882

140,69

105

 

 

 

 

pompa

480

 

 

 

 

-16030

33,40

 

 

 

 

 

utenza

120

 

 

 

 

22073

183,94

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

69177

822,65

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Il segno della prima colonna indica la concordanza dei versi dei rami rispetto a quello iniziale. Pertanto se il verso è positivo la perdita relativa sarà positiva e viceversa. In questo caso risulta negativa la perdita del ramo 5.

Per il percorso 1, prima iterazione risulta:

·       Qg1=0

·       Hpompa=-16030

·       ∑HW=+63133

·       Hidrante =+22173

·       QG2=+8000

Pertanto risulta :

NUM=0+63133+22173-16030+8000=77176

DEN=822,65

Δ =-0,15 x NUM/DEN=-14,07 L/m

 

Il coefficiente 0,15 differisce da quello originario del metodo per tener conto dei termini non lineari quali la quota geometrica e la prevalenza della pompa , ed è quello che assicura una buona convergenza del metodo. Valori di questa costante  eccessivi potrebbero determinare una instabilità del calcolo. Pertanto è preferibile aumentare il numero di iterazioni piuttosto che rischiare , in base ai dai assunti, che  il procedimento non converga. Ad esempio, nel caso specifico, è evidente che il termine correttivo non può superare, con segno negativo,  la portata nominale dell’idrante , facendo risultare la portata stessa dell’idrante negativa. Inoltre , in funzione della caratteristica della pompa, la portata della pompa deve rimanere nel range  per cui viene definita la sua curva caratteristica. Inoltre deve essere verificato che:

                 Hmax pompa+QG1-QG2>0

Se questa condizione non è verificata non vi è incontro fra la curva H-Q del circuito idraulico e quella della pompa e quindi non c’è soluzione.

 

q

D

L

 

HW

HW

HQ

Qnuova

Per il percorso 9, maglia chiusa risulta:

 

Tabella 4:percorso 9(maglia chiusa)  prima iterazione

 

 

ramo

q

D

L

 

 

HW

HQ

Qn

-

6

240

21,7

9

 

 

-60862

254

225,9

-

5

120

21,7

9

 

 

-16883

141

105,9

+

4

0

21,7

8

 

 

0

0

-14,1

+

3

120

21,7

8

 

 

15007

125

105,9

+

2

240

21,7

7

 

 

47337

197

225,9

 

 

 

 

 

 

 

-15401

717

 

 

∑HW=-15401

Pertanto risulta NUM=-15401

DEN=717

Δ =-0,15 x NUM/DEN=-3,22 l/m

 

Il calcolo iterativo si sviluppa per ognuno dei 9 percorsi , nell’esempio per 9 iterazioni, in cui il Δ medio(media dei Δ relativi a ciascun percorso) è:

iterazione

  1      Δ = 0.032

  2      Δ = 0.051

  3      Δ = 0.180

  4      Δ = 0.162

  5      Δ =-0.183

  6      Δ =-0.136

  7      Δ =-0.180

  8      Δ =-0.092

  9      Δ =-0.011

 

Tabella  5:portate dei rami ad ogni iterazione

 

Iterazioni del calcolo

Ra  iterazioni

Mo    1       2       3         4        5        6       7        8        9

1  480.000  334.681  245.793  194.746  167.779  154.696  148.731  146.154  145.087

2  240.000  170.917  127.872  102.791   89.346   82.689   79.551   78.115   77.452

3  120.000   82.261   58.587   44.974   38.042   35.024   33.933   33.673   33.708

4   0.000   -1.305   -2.391   -2.624   -2.025   -0.941    0.211    1.220    2.008

5 -120.000  -81.456  -58.529  -45.425  -38.330  -34.668  -32.843  -31.956  -31.539

6 -240.000 -163.763 -117.921  -91.955  -78.433  -72.007  -69.179  -68.039  -67.635

7  120.000   82.308   59.392   46.530   40.104   37.340   36.336   36.082   36.097

8  120.000   80.151   56.138   42.801   36.305   33.726   33.054   33.176   33.547

9  120.000   83.566   60.978   47.598   40.067   35.965   33.722   32.453   31.700

10 120.000   88.657   69.285   57.817   51.304   47.665   45.618   44.442   43.744

Figura 15 :le portate finali

 

 

LE VERIFICHE

Relativamente ai percorsi 1 e 9  si verificano con gli stessi metodi delle tabelle 3 e 4 con i risultati finale delle portate. Pertanto la tabella 3 diventa la tabella 6 e la tabella 4 la tabella 7

 

 

 

 

ramo

q

D

HW

HW

HQ

Qnuova

+

1

144,41

68,9

86

86

0,59

130,34

+

2

76,8

21,7

5751

5751

74,88

62,728

+

3

34,1

21,7

1464

1464

42,92

20,028

+

4

3,6

21,7

23

23

 

-10,47

-

5

31,2

21,7

1397

-1397

44,77

17,128

+

7

36,4

21,7

1858

1858

51,04

22,328

 

pompa

144,4

 

-17962

-17962

37,42

 

 

utenza

36,4

 

2030,9153

2031

55,79

 

 

Tabella 6:il prospetto del percorso 1 relativo all’ultima iterazione

 

Pertanto :

·       ∑HW =7784

·       QG2= 8000

·       Perdita idrante=2030

·       H pompa= 17962

NUM= 7784+8000+2030-17962=-147

DEN=∑HQ=307,41

Δ =-0,071

 

Per il percorso 9:

 

 

  ramo

    Q     

   D

    L

 

 

HW

HQ

Qn

-

6

67,6

21,7

9

 

 

-5839

86,3

53,5

-

5

31,2

21,7

9

 

 

-1396

44,7

17,1

+

4

3,6

21,7

8

 

 

22

0,000

-10,5

+

3

34,1

21,7

8

 

 

1464

42,9

20,0

+

2

76,8

21,7

7

 

 

5750

74,8

62,7

 

Tabella 7:verifica percorso 9

 

Per cui ∑HW =1,1163  DEN=248,947  Δ =0,0007

 

Figura 16 La portata del ramo 1 nelle successive iterazioni

Approfondimento sulla  ricerca dei percorsi idraulici

 

Un percorso idraulico collega una utenza alla alimentazione ed è l’insieme dei rami che partono dalla alimentazione ed arrivano alla utenza. Con riferimento alla figura 1 le utenze sono localizzate nei nodi 7,11,12,,9,4,5. I rami interessati 6,10,11,8,,3,4 sono pertanto definiti come derivazioni aperte .Il percorso che fa capo all’utenza del nodo 11  ha come primo ramo la derivazione ,ramo 11.Il percorso prosegue dal nodo 10 nel quale convergono tre rami: 10,11,9. Per la ricerca del ramo successivo collegato al nodo si esclude  il ramo di partenza e tutte le derivazioni. Il ramo successivo è  quindi il ramo 9 che viene definito come montante. Al ramo 9 è collegato, escludendo la derivazione del ramo 8, il ramo 7 e così via fino al nodo2, che fa capo al ramo di alimentazione che è il ramo 1. L’insieme dei rami 9+7+5 fa parte del montante 1. Il percorso della utenza che fa capo alla derivazione 1 è composta dai rami: 11+9+7+5+1

La derivazione del ramo 8 si collega al montante 1 a partire dal nodo 8 .Il relativo percorso è composto dai rami:8+7+5+1. La derivazione del ramo 3 si collega al ramo 2 che è un montante che diventa montante 2.Il percorso relativo è formato dai rami:8+2+1. Analogamente per le derivazioni 6 e 4.

Abbiamo quindi 6 rami classificati come derivazioni (in blù), 4 rami classificati come montanti raggruppati come montante 1 e montante2 ed un ramo di alimentazione (ramo 1).

 

Figura 17:la rete

Figura 18:alimentazione,utenze

Nel caso di geometrie ad anello,figura 19 il ragionamento relativo all’utenza del ramo 9 è analogo al precedente per i rami 9+8. Nel  nodo 7  i percorsi possibili per arrivare alla alimentazione sono 2: i rami 7+1 e 6+5+4+3+2+1.

Complessivamente all’utenza del nodo 9 competono 2 percorsi:

9+8+7+1

9+8+6+5+4+3+2+1

 

 

Figura 19:la rete con le definizioni

Nel caso di più anelli fra loro collegati o maglie bisogna definire(figura 19) :

·       NC= il nodo di collegamento della utenza alla maglia 1

·       NIR= nodo di alimentazione della rete

·       NR= il nodo della maglia più vicino al nodo NIR, determinato fra quelli che collegano le 2 maglie, in questo caso i nodi 7 ed 8.

Il percorso relativo alla utenza è formato (fino al nodo NR) da:

14+13+9

14+13+12+11+10+7

Ed infine il percorso più breve fra il nodo NR e NIR in questo caso il ramo 8 ed ,ultimo, il ramo 1.Complessivamente:

14+13+9+8+1

14+13+12+11+10+7+8+1

 

 

 

 

 

 

Figura 20:le sottoreti

 

Consideriamo il caso più complesso di più maglie fra loro collegate e denominate sottoreti come quelle schematizzate come circoli S1..S5(figura 20). Per la unica utenza collegata alla sottorete S3 valgono tutte le considerazioni fatte precedentemente fino al nodo 1 o NUR ,nodo uscita sottorete. Il ramo 1 è quindi un ramo di uscita. Analogo discorso per la sottorete S4 con il ramo di uscita 2 e S1 con il ramo di uscita 8. Questi rami sono classificati come montanti2.Ogni sottorete può avere più rami di ingresso ma un solo ramo di uscita o , in alternativa, essere collegata all’alimentazione. Pertanto per la sottorete S2 il ramo 8,proveniente dalla sottorete S1 è un ramo di ingresso e di ingresso il nodo NIR relativo. La sottorete S2 ha 2 ingressi ed una uscita. Il collegamento fra S3 ed S2 avviene con i rami montante2 1+3 .Analogamente fra S4 e S2 con i rami 2+3.Il percorso che porta dall’unica utenza definita nello schema si compone delle seguente fasi successive:

·       i rami dalla derivazione fino al nodo 2 .

·       I rami di collegamento alla sottorete S2 =1+3

·       I rami dal nodo di ingresso della sottorete S2 al nodo di uscita della stessa sottorete.

·       I rami che collegano S2 e S5.

·       I rami del percorso più breve fra il nodo NIR della sottorete al nodo di alimentazione

 

 

 

 

 

 

Figura 21:rete con derivazioni

La rete di figura 21 rappresenta una configurazione parzialmente a griglia, tipica degli sprinklers, in cui le utenze sono collocate nei nodi 17,18    19,20,21  24,25 e 22,23, oltrechè nelle derivazioni ad albero.

L’insieme di rami 18+19+20 e simili rappresentano una derivazione chiusa. I rami della derivazione chiusa sono nello stesso tempo facenti parte di maglie chiuse. Consideriamo l’utenza relativa al nodo 19. L’utenza fa parte di una maglia chiusa formata dai rami 21+22+23+24+6+20+19+18+2. Il nodo di riferimento della maglia è il nodo 7, quello più vicino alla alimentazione nodo 8. L’utenza viene quindi sdoppiata:

la prima utenza fittizia , fino al nodo 7,è composta dai rami:21+2+18+19+20. La seconda dai rami:22+23+24+6.

Ad entrambe i percorsi si aggiunge il ramo7 e successivi fino all’alimentazione.

Riassumendo i percorsi idraulici delle reti sono costituite dai percorsi aperti che vanno dalle utenze all’alimentazione . Se una utenza non è definita il relativo percorso non viene considerato. Ad esempio se nel nodo 57 non viene definita una utenza il percorso che fa capo al ramo 65 non esiste ed il relativo ramo è in pratica un ramo “morto”.

A questi percorsi aperti si aggiungono tutti i percorsi chiusi formati dalle maglie chiuse, sette nel caso della figura 21.

 

 

 

 

 

 

Figura 22:le maglie

 

La ricerca delle maglie.

 Per maglie si intende l’insieme dei rami , escluse le derivazioni, i montanti, i montanti2 che formano una circuitazione chiusa che non contiene altri rami al suo interno. La ricerca delle maglie è indipendente dai versi assunti dei rami.La ricerca delle maglie parte dai punti TRIPLI, nodi in cui convergono 3 o più rami(figura 22).

Il nodo 2 è un punto triplo, il nodo 8 non lo è. Partendo dal nodo 2 si considera come appartenente alla maglia da individuare uno qualsiasi dei rami uscenti, ad esempio il ramo 2. Il ramo successivo potrebbe essere 3 oppure 11 oppure 8. Si assume quello formante un angolo minore con  il ramo di partenza , in questo caso 8. I rami 2+8 hanno ora un verso antiorario, che prescinde dalla orientazione dei singoli rami. Il ramo successivo sarà quello che conserva la stessa orientazione e cioè il ramo 7. I rami 12 e 13 vanno infatti in verso orario. Ovviamente il ramo che chiude la maglia è il ramo 6.Ripartendo dal nodo 2 si considera ora il ramo 6. Con ragionamento analogo si costruisce una maglia 6,7,8,2 che è uguale a quella precedente e quindi viene esclusa. Ripetendo per ogni nodo triplo si individuano le 5 maglie.

La rete distingue i rami che fanno parte delle maglie e i rami esterni, in questo caso il ramo 17.

Infatti per ogni punto triplo vale la relazione per i nodi esterni( 2 e 4 in questo caso)

NR=NM+1

Dove NR è il numero di rami confluenti al nodo e NM il numero di maglie collegate al nodo.

Per i nodi interni (3 in questo caso):

NR=NM

Al nodo 7, esterno , invece:

NR=NM+2

Quindi al nodo 7 uno dei 5 rami è un ramo esterno, di ingresso o di uscita dalla rete. Per individuare il ramo esterno si osserva che:

al nodo 7 convergono le maglie 2,4,5. I rami 7,8,12,13 appartengono tutti alle maglie indicate. Il ramo 17 non appartiene

 

 

 

 

 

 

 

Più alimentazioni

Figura 23:più alimentazioni

Nel caso di più alimentazioni(figura 23)  i percorsi vengono costruite una alimentazione per volta. Pertanto prima si costruisce i percorsi che vanno dalle utenze al nodo D, prima alimentazione, successivamente i percorsi che vanno dalle stesse utenze al nodo B, seconda alimentazione.

I percorsi effettivi

 

 

 

Figura 24: Rete ad anello con 3 alimentazioni

 

 

Abbiamo detto che i percorsi idraulici collegano le utenze alla o alle alimentazioni. A seconda che la rete sia ad albero , ad anello, o magliata il software costruisce i percorsi idraulici secondo una propria metodologia, ricavando poi le portate della rete reali e quindi determinando i versi effettivi delle portate dei rami. Può risultare , ed è facile che sia così, che i percorsi idraulici assunti non siano più costituiti da rami in cui il verso delle portate abbia sempre lo stesso verso . Con riferimento alla figura 24,il percorso idraulico iniziale che collegava la sorgente 3 con l’utenza del nodo 8 era costituito dai rami 14+16+4+6. I rami 14 e 16 sono collegati idraulicamente in modo consecutivo, ossia parte della portata del ramo 14 affluisce al ramo 16, ossia il nodo finale effettivo del ramo 14 coincide con il nodo iniziale effettivo del ramo 16. Parliamo di nodo iniziale effettivo e nodo finale effettivo, quelli cioè risultanti dalle portate effettive. Il ramo 16 e il ramo 4 sono collegati diversamente: il nodo finale del ramo 16 è il nodo finale del ramo 4. In sostanza l’insieme iniziale dei rami 14+16+5+6 non è un percorso effettivo. Lo è invece l’insieme dei rami  10+5+6 .

Pertanto il numero di percorsi assunti differisce da quelli effettivi ,ed è generalmente minore , e possono essere costituiti anche in modo difforme da quelli iniziali. Nel caso di figura i percorsi iniziali sono 55 mentre quelli effettivi 14.Nel caso di più alimentazioni ogni utenza può essere  alimentata da una o più alimentazioni con un contributo diverso. Per determinare la ripartizione delle portate delle sorgenti alla singola alimentazione occorre stabilire quali sono i percorsi effettivi. La portata della sorgente che arriva alla singola utenza va determinata in base alle derivazioni , che sottraggono portata.

 

 

Figura 25: le portate delle utenze

 

Consideriamo il percorso relativo ai rami 10+5+6(figura 25) .La sorgente 2 produce una portata di 22.57 ma nel nodo=7 si separa la portata=5.928 , per cui al ramo 5 arriva solo la portata =22.57-5.928=16.64 . Nel nodo 6 una parte della portata va all’utenza del nodo=19 , una parte prosegue sul ramo 4 e solo la differenza=16.64-8.059-0.762=7.817 va all’utenza del nodo 8.Questa utenza riceve il 100% della sua portata dalla sorgente 2.Diversa è la situazione dell’utenza del nodo=14 in cui la portata affluisce sia dalla sorgente 1 che 28(figura 26) .Il riassunto della ripartizione è riportato nel prospetto 9.

 

 

Figura 26: le portate delle utenze

 

Tabella 9:Riassunto prospettico delle portate delle utenze

suddivise per sorgente di alimentazione

           Sorg=1        Sorg=2        Sorg=3       

nodo          1            12            15         

ramo          1            10            14         

Ute..Ramo..Sorg=1        Sorg=2        Sorg=3       

           Q[mc/h]  %    Q[mc/h]  %    Q[mc/h]  %   

  1    6   0.000    0    7.817  100    0.000    0 

  2    9   0.000    0    0.377    5    7.516   95 

  3    8   0.555    7    0.000    0    7.237   93 

  4    7   7.835  100    0.000    0    0.000    0 

  5   19   0.000    0    8.059  100    0.000    0 

  6   20   0.000    0    0.385    5    7.657   95 

  7   18   0.623    7    0.000    0    8.119   93 

  8   17   7.740  100    0.000    0    0.000    0 

  9   11   5.887   50    5.928   50    0.000    0 

TOTALE    22.640        22.567        30.530