figura 1 : interpolazione delle perdite di carico di una tubazione
I componenti termotecnici hanno in genere un campo
di funzionamento in cui una o piu' grandezze
caratteristiche assumono valori in dipendenza di
una o piu' grandezze tipiche dello stesso
componente.Si puo' fare l'esempio di una pompa
centrifuga in cui la prevalenza fornita e' funzione
della portata che passa nella macchina. Dal punto
di vista matematico si puo' esprimere questo
concetto dicendo che la variabile dipendente
PREVALENZA e' funzione della variabile indipendente
PORTATA cioe' :
H=F(Q)
Il costruttore in genere definisce quelle che sono le
condizioni nominali di funzionamento,in questo caso la
coppia H,Q ottimale per l'utilizzazione della pompa ed
inoltre fornisce grafici o tabelle che permettano
all'utilizzatore di risalire alla grandezza H nota che
sia la grandezza Q .La rilevazione di questi dati
caratteristici deve procedere necessariamente
sperimentalmente per coppie di valori,mentre dal punto
di vista della presentazione e' opportuno che questi
punti siano sostituiti da una curva continua.
Nel campo tecnico e' generale l'esigenza l'esigenza di
conoscere l'espressione analitica della funzione che
approssimi i punti di un grafico o di una
tabella.Questa funzione puo' essere inserita come
formula all'interno di un foglio elettronico e quindi
evitare la consultazione di cataloghi o manuali.E'
molto piu' semplice dal punto di vista della logica di
calcolo trattare una formula piuttosto che una tabella
di valori. In ogni caso la serie di punti sperimentali
non da un idea altrettanto chiara del legame di quanto
faccia invece l'equazione analitica e la sua
rappresentazione grafica.
Dal punto di vista matematico la sostituzione di coppie
di punti sperimentali con una funzione si basa sulle
tecniche di regressione denominata dei minimi
quadratici.Questa tecnica costituisce un procedimento
fondamentale del calcolo automatico nel campo
tecnico.La capacita' dei programmi di gestire dati e
formule si basa spesso su funzioni ricavate con questo
metodo.Diamo alcuni dettagli teorici essenziali.
Ipotizzando che queste coppie di valori siano
descrivibili con una legge matematica :
[1] Y=A F1(x)+B F2(x) + C F3(x)
si impone che :
[2] SUM(Y-Yi)^2=minimo
cioe' sia minima la sommatoria,SUM, dei quadrati delle
differenze estesa agli N punti sperimentali,dove:
Y=valore della funzione teorica nel punto xi
Yi=valore sperimentale in corrispondenza di xi
La condizione di minimo viene impostata ponendo uguale
a zero la derivata della sommatoria di cui sopra
rispetto a ciascuno dei coefficienti A,B,C.. A questa
condizione corrispondera' un sistema di n equazioni in
n incognite(n=numero dei coefficienti della funzione
teorica).Esempio:
se la funzione teorica cercata e':
Y = A + B X
i valori incogniti da cercare saranno i coefficienti A
e B.
Le equazioni saranno 2:
[3] N A + B SUM( xi)= SUM( yi)
[4] A SUM( xi) +B SUM( xi) = SUM( xi yi)
Se invece la variabile dipendente e' funzione di due
variabili ,la funzione cercata avra' la forma:
[5] Z= A F1(x,y)+B F2(x,y) + C F3(x,y)
E' ovvia l'estensione a piu' variabili indipendenti.In
questa tecnica l'aspetto piu' delicato e' nella
formulazione della funzione teorica che meglio descrive
i punti sperimentali.
Forniamo una serie di esempi ottenuti con un software
che gestisce integralmente la ricerca e cioe':
l'introduzione e la registrazione dei valori sperimentali
l'adattamento dei valori a varie funzioni proposte e quindi il calcolo dei coeficienti
la visualizzazione grafica dei punti sperimentali e della funzione teorica
la possibilita' di combinare piu' funzioni sullo stesso grafico
E' noto che la perdita di carico distribuita DPd nelle
tubazioni possa essere calcolata con l'equazione di
DARCY-WEISBACH:
v^2 L
[6] DP= f ro ------
2 D
dove:
ro =massa volumica fluido[kg/mc]
L=lunghezza tubazione [mt]
v=velocita' tubazione [m/sec]
D= diametro interno tubazione [mt]
DP= caduta di pressione [Pa]
f= coefficiente d'attrito funzione del fluido e della rugosita' della tubazione
D'altro canto la perdita localizzata Pl ,dovute ad
esempio a gomiti,restrizioni etc,possono essere
calcolate con l'equazione:
V^2
[7] DPl = r0 k ---
2
dove:
k=coefficiente adimensionale caratteristico della
discontinuita'
Risulta quindi che la caduta di pressione in una
tubazione ,in cui quindi siano fissi il diametro,la
lunghezza,il fluido e la sua temperatura sia funzione
solo della velocita' del fluido o della portata Q.La
forma della funzione teorica che meglio descrive la
perdita di carico di una tubazione e' del tipo:
[8] H=A Q^B
che per Q=0 vale evidentemente zero.Un esempio di
calcolo ricavato da una prova sperimentale :
---------------------------------------------------------
FILE:lin94 DATA:10/01/1994
TITOLO:tubazione ferro 3/4" lunghezza=3.1 mt
numero punti: 9 TIPO DI funzione:curva di
POTENZA
punto l/h bar (sperimentale) bar
(interpolato)
1 1000 0.030 0.026
2 1500 0.050 0.061
3 2000 0.100 0.113
4 2500 0.200 0.183
5 3000 0.300 0.271
6 3500 0.380 0.377
7 4000 0.500 0.503
8 4500 0.650 0.647
9 5000 0.800 0.811
COEFFICIENTE A= 9.38 e-9
COEFFICIENTE B= 2.146
---------------------------------------------------------
figura 1 : interpolazione delle perdite
di carico di una tubazione
La figura 1 visualizza il grafico della funzione teorica e dei punti sperimentali della tubazione
Il costruttore fornisce ,per un dato modello di pompa,
la curva portata-prevalenza Q-H e spesso anche la
curva del rendimento in funzione della portata ,REND-Q
,o della potenza assorbita in funzione sempre della
portata ,Wass-Q.In alcuni casi anche la curva relativa
al NPSH.Tutte queste curve possono essere descritte con
funzioni teoriche di tipo polinomiale:
[9] Y= A +B x +C x^2 + D x^3+..
La figura 2 visualizza i punti sperimentali e le
funzioni teoriche ottenute con un grado del polinomio
rispettivamente 2(curva rossa) ,3,4 relative alla curva
caratteristica Q-H di una pompa.Aumentando il grado del
polinomio aumenta il grado di approssimazione rispetto
ai punti sperimentali ma la funzione ha un andamento
irregolare e non fornisce in genere una buona
descrizione dei punti stessi.I coefficienti nel caso
che la funzione sia di secondo grado saranno 3 e pari
a:
A=9.773 B=0.395 C= -0.0593
Il termine A ha un significato termotecnico,rappresenta
infatti la prevalenza con portata nulla. Si noti
comunque che non c'e' in questo caso ,anche aumentando
il grado del polinomio,sostanziale differenza.Nella
figura 3 vengono invece riportate ,sullo stesso piano
le curve teoriche Q-H,REND-q ,NPSH-Q ed i rispettivi
punti sperimentali.
-Per quanto riguarda i circolatori in genere un
polinomio di primo grado approssima gia' bene la curva
Q-H che e' in genere l'unica fornita.
-Nel caso dei ventilatori non c'e' alcuna sostanziale
differenza e possono valere le stesse considerazione
fatte sopra.
figura 2 : curva Q-h di una pompa
La viscosita' di un liquido diminuisce con la
temperatura,la funzione teorica che descrive meglio il
comportamento della curva viscosita'-temperatura e' del
tipo:
1
[10] Y= --------------------
A+ B X + C X^2 + D X^3+..
Per effettuare il rilievo sperimentale della viscosita'
di un fluido si utilizza il viscosimetro che determina
la viscosita' in gradi Engler .La viscosita' in gradi
engler e' il rapporto fra il tempo di deflusso del
liquido in esame (200 cc) rispetto a quello dell'acqua
a 20'C.
La figura 4 mostra la curva teorica ed i corrispondenti
punti sperimentali ricavati su un olio idraulico.I
risultati dell'elaborazione danno:
A=0.1207 B= -0.00327 C=0.000346 D=-0.000002647
figura 3 : viscosita di un olio al variare
della temperatura
La conducibilita' termica di un corpo lambda,
ad esempio di un isolante,varia con la temperatura
generalmente in modo quasi lineare.
Pertanto una equazione del tipo:
[11] lambda = A+B T
descrive abbastanza bene l'andamento della
conducibilita'.La figura 5 visualizza l'andamento della
conducibilita' di un poliuretano espanso nel campo
-50,+60 'C
I risultati dell'elaborazione danno per l'equazione
[11] :
A=0.00345 B=0.000138
dove .
T: temperatura in 'C
lambda=W/M 'K
figura 4 : conducibilita termica
I dati tecnici forniti dal costruttore per quanto riguarda le bocchette per la distribuzione per l'aria sono,oltre le dimensioni,velocita' perdita di carico e gittata in funzione della portata.Tutte queste grandezze possono essere espresse in funzione della portata con una funzione di potenza dello stesso tipo dell'espressione [8] in modo sufficientemente preciso.La figura 6 riporta i valori sperimentali e le curve teoriche per la velocita',la perdita di carico,il lancio in funzione della portata.
L'emissione termica di un corpo radiante e'
descrivibile con una legge del tipo:
[12] E= K DT^m
dove DT=salto termico fra la temperatura media del
radiatore e l'ambiente
K,m coefficienti forniti dal costruttore
Una recente normativa propone che tutti i radiatori che
rispettano la legge:
[13] E= A H^B DT^(C+D^ H)
H= altezza del corpo termico
possano essere considerati appartenenti alla stessa
gamma.(con una differenza massima del 2% fra valori
teorici e sperimentali).La formulazione di una legge
del genere tiene conto dell'influenza dell'altezza sui
moti convettivi del corpo termico.
La [13] puo' essere sviluppata come:
[14] log(E)=LOG(A) +B LOG(H)+ C LOG(DT) +D H LOG(DT)
e ricondotta attraverso le sostituzioni:
E'=log(E) A'=log(A)
all'espressione:
[13'] E'=A' +B LOG(H)+ C LOG(DT) +D H LOG(DT)
Questa legge pone in relazione una variabile dipendente
,l'emissione termica E, rispetto a due variabili
indipendenti H,DT.Il legame non e' piu' espresso da
una sola funzione ma da piu' funzioni rimanendo
lineare nelle coefficienti A,B,C,D.Il calcolo fornisce
i seguenti valori:
A=0.863 B=1.736 C=1.472 D=-0.259
La figura 7 rappresenta i valori sperimentali e teorici
nel caso di una gamma commerciale con le tre altezze
specificate.
I costruttori forniscono in genere le prestazioni delle caratteristiche delle macchine(potenza frigorifera resa,potenza assorbita) in funzione della temperatura al condensatore e dellla temperatura dell'evaporatore,per un dato gas frigorifero.Un modello abbastanza generale che descrive con buona precisione queste caratteristiche e' un polinomio del tipo: [14] Z=A+ B X +C Y +D X^2 +E Y^2 +F XY +G X^3 +H Y^3 + L X^2 Y +M X Y^2+.. dove le variabili X,Y,Z hanno ora il significato: Z=resa frigorifera o potenza assorbita X= temperatura al condensatore Y= temperatura all'evaporatore Questi sono i coefficienti,6, se il calcolo di regressione considera una equazione di secondo grado per il polinomio: A= 99.621 B=-0.57 C=4.225 D=-0.002857 E=0.0457 F=-0.0314 La figura 8 mostra i dati sperimentali e teorici per tre valori della temperatura di condensazione,al variare della temperatura dell'evaporatore,della potenza frigorifera resa da un compressore.
figura 5 : curva del compressore
E' noto che l'acqua ha il passaggio di stato liquido-
vapore ad una temperatura che e' legata alla
pressione.Il legame fra pressione e questa temperatura
puo' essere espresso con la relazione:
[15] log(P)= A + B log(T) -C/log(T)
dove :
T=temperatura assoluta['K]
P=pressione assoluta [Pa]
Inserendo i dati tabellati di temperatura e pressione
nel campo 5 kpa-100 bar si ottengono i seguenti valori
delle costanti:
A= 14,121 B= -2,7659 C=-2614
con un errore medio inferiore al 1% nel campo
specificato.
Per i gas ideali il legame teorico fra la pressione P
,il volume v e la temperatura assoluta T ,per una massa
unitaria e' esepresso :
P V= R T
dove :
R= costante legata al gas
Una espressione del genere non descrive in modo
adeguato i gas reali e quindi non e' indicata per
applicazioni di carattere tecnico.Una espressione piu'
precisa e' la seguente:
[16] P V = R T + C P^3 + B P^2/T^3
dove :
V in m^3 P in Pascal T in gradi kelvin
Il volume V puo' essere espresso in funzione della
pressione e della temperatura.Immettendo dati tabulati
nel campo del vapore si ottiene per i coefficienti i
valori:
R= 94,95 C= 4,213 106 B= -0,10126
con un errore medio del 2,165 %
Il calcolo della perdita di carico distribuita di una
tubazione liscia(rame,plastica,acciaio trafilato) puo'
essere fatto con l'espressione [1] dove il coefficiente
di attrito puo' essere calcolato con l'espressione:
[17] f = 0,0055(1+(20000 e + 1000000/Rey)^0,333)
v D
Rey= numero di reynolds= -----
nu
e=rugosita' relativa=Rugosita' assoluta/diametro
tubazione
Se vogliamo determinare la perdita di carico ,noti che
siano portata ,lunghezza ,diametro,bisogna pertanto
definire la temperatura da cui dipendono la massa
volumica e la viscosita' cinematica .
Le funzioni r(t) e n(t) possono essere ottenute con
il metodo dei minimi quadratici ipotizzando per la
massa volumica un polinomio come nell'espressione [9] e
per la viscosita' cinematica una funzione come nella
[10].Si ottengono:
per la massa volumica:
ro = 1000,2 +0,003689 t -0,005597 t^2 +0,00001393 t^3
per la viscosita' cinematica:
1
[18] nu = ----------------------------
0,544+0,0219 t +0,00006098 t^
ISTRUZIONI SUL PROGRAMMA Il programma calcola la curva di regressione di una serie di punti secondo modelli di equazione a scelta fra le possibili: POTENZA: Y=A + XB POLINOMIO:Y=A1+ A2 X + A3 X2 + A4 X3 + A5 X4 + …. ESPONENZIALE:Y=A eB POLINOMIO FRATTO: Y=1/(A1+ A2 X + A3 X2 + A4 X3 + A5 X4 + …) temperatura-tempo:Y=Yfinale-(Yfinale -Yiniziale) e-mx Funzione polinomiale di 2 variabili: z=F(x,y) Vengono riportati successivamente ulteriori esempi di calcolo. Altri ESEMPI DI CALCOLO ESEMPIO CURVA POTENZA I valori (x,y) devono essere positivi La curva ha la forma: Y=A + XB ESEMPIO: tipo di equazione:POTENZA COEFFICIENTE A= 1.1076 COEFFICIENTE B= 4.3842 punto nr: 1 X= 1.0000 Y= 0.7500 Y int= 1.1076 err%= 47.7 punto nr: 2 X= 1.5000 Y= 11.2500 Y int= 6.5521 err%= -41.8 punto nr: 3 X= 2.0000 Y= 27.0000 Y int= 23.1278 err%= -14.3 punto nr: 4 X= 2.5000 Y= 58.5000 Y int= 61.5182 err%= 5.2 punto nr: 5 X= 3.0000 Y= 106.0000 Y int= 136.8192 err%= 29.10
ESEMPIO CURVA POLINOMIO La curva ha la forma: Y=A1+ A2 X + A3 X2 + A4 X3 + A8 X4 + …. ESEMPIO: tipo di equazione:POLINOMIO EQUAZIONE POLINOMIALE DI GRADO: 2 I COEFFIciENTI DEL POLINOMIO SONO: Termine nr: 1 = 2195.2973 Termine nr: 2 = 0.2485 Termine nr: 3 = -0.0003 punto nr: 1 X= 500.0000 Y= 2237.0000 Y int= 2248.8469 err%= 0.5 punto nr: 2 X= 700.0000 Y= 2237.0000 Y int= 2230.6688 err%= -0.3 punto nr: 3 X= 900.0000 Y= 2197.0000 Y int= 2189.8633 err%= -0.3 punto nr: 4 X= 1100.0000 Y= 2148.0000 Y int= 2126.4304 err%= -1.0 punto nr: 5 X= 1400.0000 Y= 1962.0000 Y int= 1988.8547 err%= 1.4 punto nr: 6 X= 1700.0000 Y= 1795.0000 Y int= 1800.3674 err%= 0.3 punto nr: 7 X= 2000.0000 Y= 1570.0000 Y int= 1560.9684 err%= -0.6 ESEMPIO CURVA ESPONENZIALE La curva ha la forma: Y=A eB I valori (x,y) devono essere postivi tipo di equazione:ESPONENZIALE COEFFICIENTE A= 5.5129 COEFFICIENTE B= 0.4910 punto nr: 1 X= 1.0000 Y= 8.2436 Y int= 9.0080 err%= 9.3 punto nr: 2 X= 2.0000 Y= 13.5914 Y int= 14.7190 err%= 8.3 punto nr: 3 X= 3.0000 Y= 30.4084 Y int= 24.0508 err%= -20.9 punto nr: 4 X= 4.0000 Y= 38.9453 Y int= 39.2989 err%= 0.9 punto nr: 5 X= 5.0000 Y= 62.9125 Y int= 64.2142 err%= 2.1 punto nr: 6 X= 6.0000 Y= 106.4277 Y int= 104.9258 err%= -1.4 punto nr: 7 X= 7.0000 Y= 168.5773 Y int= 171.4483 err%= 1.7 punto nr: 8 X= 8.0000 Y= 273.9908 Y int= 280.1457 err%= 2.2 punto nr: 9 X= 9.0000 Y= 453.0857 Y int= 457.7568 err%= 1.0 punto nr: 10 X= 10.0000 Y= 746.0658 Y int= 747.9725 err%= 0.3 punto nr: 11 X= 11.0000 Y= 1223.4597 Y int= 1222.1838 err%= -0.1 ESEMPIO CURVA POLINOMIO FRATTO La curva ha la forma: Y=1/(A1+ A2 X + A3 X2 + A4 X3 + A8 X4 + ….) tipo di equazione:POLINOMIO FRATTO EQUAZIONE POLINOMIO FRATTO DI GRADO: 2 I COEFFIciENTI DEL POLINOMIO SONO: Termine nr: 1 = -0.1066 Termine nr: 2 = 0.0143 Termine nr: 3 = -0.0000 punto nr: 1 X= 20.0000 Y= 5.8000 Y int= 6.2191 err%= 7.2 punto nr: 2 X= 36.0000 Y= 3.0350 Y int= 2.8765 err%= -5.2 punto nr: 3 X= 43.0000 Y= 2.4460 Y int= 2.3706 err%= -3.1 punto nr: 4 X= 53.0000 Y= 1.8920 Y int= 1.9237 err%= 1.7 punto nr: 5 X= 63.0000 Y= 1.6070 Y int= 1.6436 err%= 2.3 punto nr: 6 X= 73.0000 Y= 1.4210 Y int= 1.4543 err%= 2.3 punto nr: 7 X= 80.0000 Y= 1.3920 Y int= 1.3559 err%= -2.6 ESEMPIO CURVA temperatura-tempo La curva ha la forma: Y=Yfinale-(Yfinale -Yiniziale) e-mx I valori (x,y) devono essere postivi Dove: Yiniz=valore di Y per x=0 Y finale=valore di Y per x tipo di equazione:Temperatura-tempo COEFFICIENTE M= 0.1013 EQUAZIONE temperatura_tempo punto nr: 1 X= 1.0000 Y= 9.5163 Y int= 9.6353 err%= 1.3 punto nr: 2 X= 2.0000 Y= 18.1269 Y int= 18.3422 err%= 1.2 punto nr: 3 X= 3.0000 Y= 26.9182 Y int= 26.2102 err%= -2.6 punto nr: 4 X= 4.0000 Y= 32.9680 Y int= 33.3200 err%= 1.1 punto nr: 5 X= 5.0000 Y= 39.3469 Y int= 39.7449 err%= 1.0 punto nr: 6 X= 6.0000 Y= 46.1188 Y int= 45.5506 err%= -1.2 punto nr: 7 X= 7.0000 Y= 50.3415 Y int= 50.7970 err%= 0.9 punto nr: 8 X= 8.0000 Y= 56.0671 Y int= 55.5378 err%= -0.9 punto nr: 9 X= 9.0000 Y= 59.3430 Y int= 59.8219 err%= 0.8 punto nr: 10 X= 10.0000 Y= 64.2121 Y int= 63.6932 err%= -0.8 Esempio z=F(x,y) La curva ha la forma: Z=A1+ A2 X + A3 Y + A4 X2 + A5 Y2 + A6 XY + A7 X3 + A8 Y3 + A9 X2 Y + A10 Y2 X + A111 X4 + A12 Y4 + A13 Y2 X2 + A14 Y X3 + A15 X Y3 (1) Esempio: POLINOMIO Z=F(x,y) grado= 4 termine........ 1 0.45108220 2 0.02834417 3 0.15842517 4 -0.00211394 5 -0.01768171 6 0.00196800 7 0.00002154 8 0.00174025 9 -0.00080232 10 0.00019134 11 -0.00000007 12 -0.00006175 13 0.00003646 14 -0.00000605 15 -0.00000070 X. .....Y......Z......Zint...err% 1 15.0000 7.0000 1.1820 1.1836 0.1 2 25.0000 7.0000 1.0910 1.0878 -0.3 3 28.0000 7.0000 1.0500 1.0526 0.2 4 30.0000 7.0000 1.0320 1.0289 -0.3 5 32.0000 7.0000 1.0000 1.0056 0.6 6 35.0000 7.0000 0.9740 0.9718 -0.2 7 38.0000 7.0000 0.9420 0.9407 -0.1 8 15.0000 9.0000 1.2780 1.2723 -0.4 9 25.0000 9.0000 1.1590 1.1584 -0.0 10 28.0000 9.0000 1.1120 1.1215 0.9 11 30.0000 9.0000 1.1000 1.0974 -0.2 12 32.0000 9.0000 1.0790 1.0741 -0.5 13 35.0000 9.0000 1.0400 1.0413 0.1 14 38.0000 9.0000 1.0090 1.0119 0.3 15 15.0000 11.0000 1.3550 1.3644 0.7 16 25.0000 11.0000 1.2280 1.2276 -0.0 17 28.0000 11.0000 1.1900 1.1856 -0.4 18 30.0000 11.0000 1.1620 1.1584 -0.3 19 32.0000 11.0000 1.1300 1.1321 0.2 20 35.0000 11.0000 1.1010 1.0949 -0.6 21 38.0000 11.0000 1.0580 1.0609 0.3 22 15.0000 13.0000 1.4580 1.4510 -0.5 23 25.0000 13.0000 1.3080 1.3041 -0.3 24 28.0000 13.0000 1.2500 1.2590 0.7 25 30.0000 13.0000 1.2260 1.2294 0.3 26 32.0000 13.0000 1.2000 1.2005 0.0 27 35.0000 13.0000 1.1580 1.1587 0.1 28 38.0000 13.0000 1.1220 1.1193 -0.2 29 15.0000 15.0000 1.4980 1.4997 0.1 30 25.0000 15.0000 1.3650 1.3728 0.6 31 28.0000 15.0000 1.3450 1.3317 -1.0 32 30.0000 15.0000 1.3070 1.3041 -0.2 33 32.0000 15.0000 1.2720 1.2766 0.4 34 35.0000 15.0000 1.2320 1.2354 0.3 35 38.0000 15.0000 1.1960 1.1947 -0.1DOWNLOAD DEL PROGRAMMA
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